数据结构与算法之美学习笔记

入门篇

Posted by Alee on September 10, 2019

入门篇

什么是数据结构?什么是算法?

从广义上讲,数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。

从狭义上讲,是指某些著名的数据结构和算法,比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等。

数据结构和算法有什么关系?

数据结构和算法是相辅相成的。数据结构是为算法服务的,算法要作用在特定的数据结构之上。

算法学习重点是什么?

学习数据结构与算法,首先要掌握一个数据结构与算法中最重要的概念—-复杂度分析。

数据结构和算法所有知识点图谱

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20个最常用的、最基础的数据结构与算法

10个数据结构:数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie树;

10个算法:递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法;

以上数据结构与算法不管是应付面试还是工作需要,只要集中精力逐一攻克这些知识点就够了

算法学习需要注意的问题

要学习它的 来历 自身的特点 适合解决的问题 以及 实际的应用场景

算法学习技巧

  1. 边学边练,适度刷题
  2. 多问、多思考、多互动
  3. 打怪升级学习法
  4. 知识需要沉淀,不要想试图一下子掌握所有

为什么需要复杂度分析?

事后统计法:(区别于复杂度)通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。

事后统计法的局限性:

  1. 测试结果非常依赖测试环境
  2. 测试结果受数据规模的影响很大

大O复杂度表示法

所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。

T(n) = O(f(n))  
T(n)表示代码执行的时间
n表示数据规模的大小
f(n)表示每行代码执行的次数总和,因为这是一个公式,所以用f(n)来表示
公式中的O,表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度,简称时间复杂度

时间复杂度分析

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
  2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
int cal(int n) { //举个例子
  int ret = 0;
  int i = 1;
  for(: i < n: ++i) {
    ret = ret + f(i);
  }
  return ret;
}

int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (;  i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 46 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)
 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,
整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)

几种常见时间复杂度实例分析

  • 常量阶 O(1)
  • 对数阶 O(㏒n)
  • 线性阶 O(n)
  • 线性对数阶 O(n㏒n)
  • 方法阶 O(n²)
  • 立方阶 O(n³)
  • K次方阶 O(nᴷ)
  • 指数阶 O(2ⁿ)
  • 阶乘阶 O(n!)

分类:多项式量级非多项式量级

非多项式量级:O(2ⁿ) 和 O(n!) 叫作 NP (Non -DeterministicPolynomial)问题。

当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

  1. O(1)

    表示一种常量级时间复杂度,并不是指只执行了一行代码。一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是O(1)。

  2. O(㏒n)、O(n㏒n)

    对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。

    int i = 1;
    while (i <= n) {
      i = i * 2;
    }
    从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。
    还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。
    如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:
    2 2¹ 2² 2³ ... 2 ...2ˣ = n
    所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。
    通过 2ˣ=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。
    x=㏒₂n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(㏒₂n)
         
    int i = 1;
    while (i <= n) {
      i = i * 3;
    } 
    时间复杂度为O(㏒₃n)
    实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们忽略对数的“底”,
    可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(n)
    

    O(n㏒n)就是把一段时间复杂度是O(㏒n)的代码循环执行n遍的时间复杂度,O(n㏒n)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序。

  3. O(m+n)、O(m*n)

    int cal(int m, int n) {
      int sum_1 = 0;
      int i = 1;
      for (; i < m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
      }
      int sum_2 = 0;
      int j = 1;
      for (; j < n; ++j) {
        sum_2 = sum_2 + j;
      }
      return sum_1+sum_2;
    }
    从代码中可以看出,m  n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m  n 谁的量级大,
    所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。
    所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)
    

    针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

空间复杂度的全称是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (; i < n; i++) {
    a[i] = i * i;
  }
  for (i = n - 1; i >= 0; --i) {
    print out a[i];
  }
}
跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,
跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n  int 类型数组,除此之外,
剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)

常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n²),像O(㏒n)、O(n㏒n)这样的对数阶复杂度平时都用不到。空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

阶段小结

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系。可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(㏒n)、O(n)、O(n㏒n)、O(n²)。复杂度分析并不难,关键在于多练。

O

复杂度分析进阶

包含最好情况时间复杂度(best case time complexity)最坏情况复杂度(worst case time complexity)平均情况时间复杂度(average case time complexity)均摊时间复杂度(amortized time complexity)

最好、最坏情况时间复杂度

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}
这段代码的复杂度是 O(n),其中,n 代表数组的长度。

但是以上代码不够高效,我们做如下优化:

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}
这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗?
因为,要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x
那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了,那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x
那我们就需要把整个数组都遍历一遍,时间复杂度就成了 O(n)。所以,不同的情况下,
这段代码的时间复杂度是不一样的。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度,我们引入三个概念:最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。

最好情况时间复杂度就是:在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度

最坏情况时间复杂度就是:在最糟糕的情况下,执行这段代码的时间复杂度

平均情况时间复杂度

以刚才的代码为例:要查找的变量 x 在数组中的位置,有 n+1 种情况:在数组的 0~n-1 位置中不在数组中。我们把每种情况下,查找需要遍历的元素个数累加起来,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值,即:

pic1

省略掉系数、低阶、常量,公式简化后得到平均时间复杂度就是O(n)。

这个结论正确,但是计算过程有问题,这n+1种情况,出现的概率并不是一样的。

要查找的变量 x,要么在数组里,要么就不在数组里。我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。要查找的数据出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率也是一样的,为 1/n。所以,根据概率乘法法则,要查找的数据出现在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

前面的推导过程中存在的最大问题就是,没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去,那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样:

这个值就是概率论中的加权平均估值,也叫做期望值,所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度期望时间复杂度

这段代码去掉系数和常量,加权平均时间复杂度仍然是O(n)。

在大多数情况下,我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候,我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下,时间复杂度有量级的差距,我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度

 // array 表示一个长度为 n 的数组
 // 代码中的 array.length 就等于 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

最理想的情况下,数组中有空闲空间,我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了,所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下,数组中没有空闲空间了,我们需要先做一次数组的遍历求和,然后再将数据插入,所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

那平均时间复杂度是多少呢?答案是 O(1)。

假设数组的长度是 n,根据数据插入的位置的不同,我们可以分为 n 种情况,每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外,还有一种“额外”的情况,就是在数组没有空闲空间时插入一个数据,这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且,这 n+1 种情况发生的概率一样,都是 1/(n+1)。所以,根据加权平均的计算方法,我们求得的平均时间复杂度就是:

pic3

首先,find() 函数在极端情况下,复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下,时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下,复杂度才比较高,为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说,O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入,出现的频率是非常有规律的,而且有一定的前后时序关系,一般都是一个 O(n) 插入之后,紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作,循环往复。

所以,针对这样一种特殊场景的复杂度分析,我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样,找出所有的输入情况及相应的发生概率,然后再计算加权平均值。

针对这种特殊的场景,我们引入了一种更加简单的分析方法:摊还分析法,通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字,叫均摊时间复杂度

如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度

我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作,都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作,所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上,均摊下来,这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。

均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊,所以我们并不会经常用到。

总结一下均摊时间复杂度的应用场景:

对一个数据结构进行一组连续操作中,大部分情况下时间复杂度都很低,只有个别情况下时间复杂度比较高,而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系,这个时候,我们就可以将这一组操作放在一块儿分析,看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时,平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且,在能够应用均摊时间复杂度分析的场合,一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度

思考题

// 全局变量,大小为 10 的数组 array,长度 len,下标 i。
int array[] = new int[10]; 
int len = 10;
int i = 0;

// 往数组中添加一个元素
void add(int element) {
   if (i >= len) { // 数组空间不够了
     // 重新申请一个 2 倍大小的数组空间
     int new_array[] = new int[len*2];
     // 把原来 array 数组中的数据依次 copy 到 new_array
     for (int j = 0; j < len; ++j) {
       new_array[j] = array[j];
     }
     // new_array 复制给 array,array 现在大小就是 2 倍 len 了
     array = new_array;
     len = 2 * len;
   }
   // 将 element 放到下标为 i 的位置,下标 i 加一
   array[i] = element;
   ++i;
}

分析下上述代码的时间复杂度?答案是1

  1. 最好的情况是O(1),最坏的情况是O(n),大部分情况是O(1),则均摊是O(1)