数据结构与算法之美学习笔记

基础篇之栈

你知道如何实现浏览器的前进和后退功能吗？

如何理解“栈”

我们可以把栈看成是一摞叠在一起的盘子。在放盘子的时候都是从下往上一个一个放，取盘子的时候都是从上往下一个一个地依次取，不能从中间任意抽出。后进先出，先进后出，这就是典型的“栈”结构。

栈是一种“操作受限”的线性表，只允许在一端插入和删除数据。

为什么要用这个“操作受限”的“栈”？

特定的数据结构是对特定场景的抽象。栈在某些特定的场景自然有其独特的优势。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，我们就应该首选“栈”这种数据结构。

如何实现一个“栈”

栈主要包含两个操作，入栈和出栈，也就是在栈顶插入一个数据和从栈顶删除一个数据。

栈既可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的栈，叫顺序栈，用链表实现的栈，叫链式栈。

下面的代码就是基于数组的顺序栈。

// 基于数组实现的顺序栈
public class ArrayStack {
  private String[] items;  // 数组
  private int count;       // 栈中元素个数
  private int n;           // 栈的大小

  // 初始化数组，申请一个大小为 n 的数组空间
  public ArrayStack(int n) {
    this.items = new String[n];
    this.n = n;
    this.count = 0;
  }

  // 入栈操作
  public boolean push(String item) {
    // 数组空间不够了，直接返回 false，入栈失败。
    if (count == n) return false;
    // 将 item 放到下标为 count 的位置，并且 count 加一
    items[count] = item;
    ++count;
    return true;
  }
  
  // 出栈操作
  public String pop() {
    // 栈为空，则直接返回 null
    if (count == 0) return null;
    // 返回下标为 count-1 的数组元素，并且栈中元素个数 count 减一
    String tmp = items[count-1];
    --count;
    return tmp;
  }
}

可以考虑用链表怎么来实现链式栈。

栈操作的时间、空间复杂度

不管是顺序栈还是链式栈，我们存储数据只需要一个大小为n的数组就够了。在入栈和出栈的过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度是O(1)。由于出栈和入栈只涉及栈顶个别数据操作，所以对应的时间复杂度也是O(1)。

这里存储数据需要一个大小为n的数组，并不是说空间复杂度就是O(n)。因为这n个空间是必须的，无法省掉。所以我们说空间复杂度的时候，是指除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。

支持动态扩容的顺序栈

要实现一个支持动态扩容的栈，我们只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。当栈满了之后，我们就申请一个更大的数组，将原来的数据搬移到新的数组中。

支持动态扩容的顺序栈的入栈、出栈操作的时间复杂度

对于出栈操作，由于不会涉及内存的重新申请和数据搬移，所以出栈道时间复杂度是O(1)。对于入栈来说，当栈中有空闲空间时，入栈操作的时间复杂度为O(1)。当空间不够时，就要重新申请内存和数据搬移，对应的时间复杂度为O(n)。

即对于入栈来说，最好情况时间复杂度为O(1)，最坏情况时间复杂度为O(n)。采用摊还分析法来分析下：

• 栈空间不够时，我们重新申请一个是原来大小两倍的数组；
• 为了简化分析，假设只有入栈操作没有出栈操作；
• 定义不涉及内存搬移的入栈操作为simple-push操作，时间复杂度为O(1)。

如果当前栈大小为 K，并且已满，当再有新的数据要入栈时，就需要重新申请 2 倍大小的内存，并且做 K 个数据的搬移操作，然后再入栈。但是，接下来的 K-1 次入栈操作，我们都不需要再重新申请内存和搬移数据，所以这 K-1 次入栈操作都只需要一个 simple-push 操作就可以完成。

这 K 次入栈操作，总共涉及了 K 个数据的搬移，以及 K 次 simple-push 操作。将 K 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作，那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推，入栈操作的均摊时间复杂度就为 O(1)。

均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下，入栈操作的时间复杂度 O 都是 O(1)，只有在个别时刻才会退化为 O(n)，所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近 O(1)。

栈在函数调用中的应用

栈的一个经典的应用场景就是函数调用栈。

操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成“栈”这种结构，用来存储函数调用时的临时变量。每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。

int main() {
   int a = 1; 
   int ret = 0;
   int res = 0;
   ret = add(3, 5);
   res = a + ret;
   printf("%d", res);
   reuturn 0;
}

int add(int x, int y) {
   int sum = 0;
   sum = x + y;
   return sum;
}

在代码中，main()函数调用了add()函数，获取计算结果，并且与临时变量a相加，最后打印res的值。下面的图显示的是执行到add()函数时，函数调用栈道情况。

栈在表达式求值中的应用

栈道另一个常见应用场景：编译器利用栈来实现表达式求值。

为了简便，将算术表达式简化为只包含加减乘除的四则运算：如34+13*9+44-12/3。

编译器通过两个栈来实现表达式求值的。其中一个保存操作数的栈，另一个时保存运算符的栈。我们从左向右遍历表达式，当遇到数字，我们就直接压入操作数栈；当遇到运算符，就与运算符栈道栈顶元素进行比较。

如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈；如果比运算符栈顶元素优先级低或者相同，从运算符栈中取栈顶运算符，从操作数栈道栈顶取2个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，进行比较。

下图演示了3+5*8-6这个表达式的计算过程

栈在括号匹配中的应用

除了用栈来实现表达式求值，我们还可以借助栈来检查表达式中的括号是否匹配。

我们假设表达式中只包含三种括号，圆括号 ()、方括号 [] 和花括号{}，并且它们可以任意嵌套。比如，{[{}]}或 [{()}([])] 等都为合法格式，而{[}()] 或 [({)] 为不合法的格式。那我现在给你一个包含三种括号的表达式字符串，如何检查它是否合法呢？

这里也可以用栈来解决。我们用栈来保存未匹配的左括号，从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时，则将其压入栈中；当扫描到右括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中，遇到不能配对的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。

当所有的括号都扫描完成之后，如果栈为空，则说明字符串为合法格式；否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式。

解答开篇

如何实现浏览器的前进、后退功能？用两个栈就可以完美解决这个问题。

我们使用两个栈，X 和 Y，我们把首次浏览的页面依次压入栈 X，当点击后退按钮时，再依次从栈 X 中出栈，并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时，我们依次从栈 Y 中取出数据，放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时，那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据，那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。

比如你顺序查看了 a，b，c 三个页面，我们就依次把 a，b，c 压入栈，这个时候，两个栈的数据就是这个样子：

当你通过浏览器的后退按钮，从页面 c 后退到页面 a 之后，我们就依次把 c 和 b 从栈 X 中弹出，并且依次放入到栈 Y。这个时候，两个栈的数据就是这个样子：

这个时候你又想看页面 b，于是你又点击前进按钮回到 b 页面，我们就把 b 再从栈 Y 中出栈，放入栈 X 中。此时两个栈的数据是这个样子：

这个时候，你通过页面 b 又跳转到新的页面 d 了，页面 c 就无法再通过前进、后退按钮重复查看了，所以需要清空栈 Y。此时两个栈的数据这个样子：

思考

1. 我们用函数调用栈来保存临时变量，为什么函数调用要用“栈”来保存临时变量呢？用其他数据结构不行吗？¹
2. 我们都知道，JVM 内存管理中有个“堆栈”的概念。栈内存用来存储局部变量和方法调用，堆内存用来存储 Java 中的对象。那 JVM 里面的“栈”跟我们这里说的“栈”是不是一回事呢？如果不是，那它为什么又叫作“栈”呢？²

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