数据结构与算法之美学习笔记

基础篇之递归

现在很多 App 都有这个推荐注册返佣金功能。这个功能中，用户 A 推荐用户 B 来注册，用户 B 又推荐了用户 C 来注册。我们可以说，用户 C 的“最终推荐人”为用户 A，用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A，而用户 A 没有“最终推荐人”。基于此，如何查找指定用户的“最终推荐人”？

如何理解递归

递归是一种应用非常广泛的算法或者编程技巧。很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以搞懂递归对学习一些复杂的数据结构和算法是非常有必要的。

案例：周末带着女朋友去电影院看电影，女朋友问，咱们现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在怎么办？

于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。

这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。比如上面的案例我们用递推公式将它表示出来就是这样：

f(n) = f(n-1) + 1 其中 f(1) = 1

f(n)表示想知道自己在哪一排，f(n-1)表示前面一排所在的排数，f(1) = 1表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松地将它改为递归代码：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n - 1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决。

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

   何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如前面的案例，要知道“自己在哪一排”，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样的一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

   如案例所示，求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路是一模一样的。

3. 存在递归终止条件

   把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。前面的案例：第一排的人知道自己在哪一排，不需要再问别人，f(1) = 1就是递归的终止条件。

怎样编写递归代码

写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下就是将递推公式转化为代码。

案例：假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？如果有 7 个台阶，你可以 2，2，2，1 这样子上去，也可以 1，2，1，1，2 这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢？

我们可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了1个台阶，另一类是第一步走了2个台阶。所以n个台阶的走法就等于先走1阶后，n-1个台阶的走法 加上先走2阶后，n-2个台阶的走法，用公式表示：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

再来看下终止条件。当有一个台阶时，我们不需要再继续递归，就只有一种走法。所以f(1) = 1。这个递归终止条件足够吗？我们试试用n = 2， n = 3这样比较小的数实验一下。

n = 2时，f(2) = f(1) + f(0)。如果递归终止条件只有一个f(1) = 1，那f(2)就无法求解了。所以除了f(1) = 1这一个递归终止条件外，还要有f(0) = 1，表示走0个台阶有一种走法，不过这样看起来不符合正常的逻辑思维。所以，我们可以把f(2) = 2作为一种终止条件，表示走2个台阶，只有两种走法，一步走完或者分两步走。

所以，递归终止条件就是f(1) = 1，f(2) = 2。这个时候，可以再拿n = 3，n = 4来验证下，这个终止条件是否足够并且正确。

我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放在一起就是这样：

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);

最终的递归代码就是这样：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n -1) + f(n - 2);
}

写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，请求基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

当我们面对一个问题需要分解为多个子问题的时候，递归代码往往没那么好理解，比如第二个案例，人脑几乎没办法把整个“递”和“归”的过程一步一步都想清楚。

计算机擅长做重复的事情，所以递归正符合它的胃口。而我们人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。当我们看到递归时，我们总想把递归平铺展开，脑子里就会循环，一层一层往下调，然后再一层一层返回，试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的，这样就很容易被绕进去。

对于递归代码，这种试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是进入了一个思维误区。很多时候，我们理解起来比较吃力，主要原因就是自己给自己制造了这种理解障碍。那正确的思维方式应该是怎样的呢？

如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，可以假设子问题 B、C、D 已经解决，在此基础上思考如何解决问题 A。而且，只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。

所以，编写递归代码的关键是：只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

在实际开发中，编写递归代码我们通常会遇到很多问题，比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果非常严重。为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢？

我们知道在函数调用时，会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险，出现java.lang.StackOverflowError。

如何避免出现堆栈溢出？

可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度(比如1000)之后，我们就不再继续往下递归了，直接返回报错。比如前面电影院的案例，改造后的伪代码如下：

// 全局变量，表示递归的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth;
  if (depth > 1000) throw exception;
  
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码又会过于复杂，影响到代码的可读性。所以如果最大深度比较小，比如10、50，还可以用这种方法，否则这种方法不是很实用。

递归代码要警惕重复计算

使用递归时要注意重复计算的问题，比如案例二，我们把整个递归过程分解一下，那就是这样的：

从图中，我们可以看到，想要计算f(5)，需要先计算f(4)和f(3)，而计算f(4)还需要计算f(3)，因此，f(3)就被计算了很多次，这就是重复计算的问题。

为了解决重复计算，我们可以通过散列表等数据结构来保存已经求解过的f(k)。当递归调用到f(k)时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，就不再重复计算了。

如上思路，改造下刚才到代码：

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList 可以理解成一个 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSovledList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSovledList.put(n, ret);
  return ret;
}

除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题，递归代码还有很多别的问题。

在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积累成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如前面的案例一的递归代码，空间复杂度并不是O(1)，而是O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归代码

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以在开发中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。

所以刚才的递归案例代码可以做如下修改：

//案例一
int f(int n) {
  int ret = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    ret = ret + 1;
  }
  return ret;
}

//案例二
int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

笼统地讲，所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归代码。

因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。

但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质并没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。

解答开篇

如何找到“最终推荐人”？解决方案：

long findRootReferrerId(long actorId) {
  Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId);
}

以上三行代码就搞定了，不过在实际项目中，可能会出现两个问题。

1. 如果递归很深，可能会有堆栈溢出的问题。

2. 如果数据库存在脏数据，可能会出现无限递归的问题。

   比如demo环境下数据库中，测试工程师为了方便测试，会人为地插入一些数据，就会出现脏数据。如果A的推荐人是B，B的推荐人是C，C的推荐人是A，这样就会发生死循环。

如何解决？

第一个问题可以用前面解答过的限制递归深度来解决。

第二个问题也可以用限制递归深度来解决，但还有一个高级的处理办法，就是自动检测A->B->C->A这种“环”存在。如何自动检测，后面再谈。

内容小结

递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。

不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去，正确姿势是写出递推公式，找出终止条件，然后再翻译成递归代码。

递归代码虽然简洁高效，但是，递归代码也有很多弊端。比如，堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等，所以，在编写递归代码的时候，一定要控制好这些副作用。

思考

我们平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能，像规模比较大、递归层次很深的递归代码，几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码，你有什么好的调试方法呢？¹

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