数据结构与算法之美学习笔记

基础篇之排序(上)

Posted by Alee on October 14, 2019

基础篇之排序(上)

插入排序和冒泡排序的时间复杂度相同,都是O(n²),在实际的软件开发中,为什么我们更倾向于使用插入排序算法而不是冒泡排序算法呢?

如何分析一个“排序算法”

分析一个排序算法,可以从以下几个方面入手

  • 排序算法的执行效率

    对于排序算法执行效率的分析,从这几个方面来衡量:

    1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度

      在分析排序算法的时间复杂度时,要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度,还得说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。

      为什么要区分这三种时间复杂度呢?第一,有些排序算法会区分,为了好对比,我们最好都做一下区分。第二,对于要排序的数据,有的接近有序,有的完全无序。有序度不同的数据,对于排序的执行时间肯定是有影响的,我们要知道排序算法在不同数据下的性能表现。

    2. 时间复杂度的系数、常数、低阶

      时间复杂度反映的是数据规模n很大的时候的一个增长趋势,所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但实际软件开发中,排序的可能是10个、100个、1000个这样规模很小的数据,所以,在对同一阶时间复杂度的排序算法性能比较的时候,我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

    3. 比较次数和交换(移动)次数

      基于比较的排序算法的执行过程,会涉及两种操作,一种是元素比较大小,另一种是元素交换或移动。所以,在分析排序算法的执行效率的时候,应该把比较次数和交换次数也考虑进去。

  • 排序算法的内存消耗

    算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量,排序算法也不例外。针对排序算法的空间复杂度,有一个新的概念,原地排序(Sorted in place)。原地排序算法,就是特指空间复杂度是O(1)的排序算法。

  • 排序算法的稳定性

    仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法,有一个重要的度量指标,稳定性。这个概念是说,如果待排序的序列中存在值相等的元素,经过排序之后,相等元素之间原有的先后顺序不变

    举个例子:比如我们有一组数据 2,9,3,4,8,3,按照大小排序之后就是 2,3,3,4,8,9。

    这组数据里有两个3,经过某种排序算法排序之后,如果两个3的前后顺序没有改变,那么这种排序算法就叫作稳定的排序算法;如果前后顺序发生变化,那就叫作不稳定的排序算法

    或许你有疑问,两个3哪个在前,哪个在后有什么关系呢?稳不稳定又有什么关系呢?为什么要考察排序算法的稳定性呢?

    在真正软件开发中,要排序的往往不是单纯的整数,而是一组对象。需要按照对象的某个key来排序。

    比如:现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性,一个是下单时间,另一个是订单金额。如果现在有10万条订单数据,希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单,希望按照下单时间从早到晚排序。对于这样一个排序需求,该如何实现呢?

    最先想到的是:先按照金额对订单数据进行排序,然后,再遍历排序之后的订单数据,对于每个金额相同的小区间再按照下单时间排序。这种排序思路理解起来简单,但实现起来会很复杂。

    而借助稳定排序算法可以非常简洁地解决。解决思路是:先按照下单时间给订单排序,注意是按照下单时间,不是金额。排序完成之后。再用稳定排序算法,按照订单金额重新排序。两遍排序之后,得到的订单数据就是按照金额从小到大排序,金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。为什么呢?

    稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象,在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后,所有的订单按照下单时间从早到晚有序了。在第二次排序中,我们用的是稳定的排序算法,所以经过第二次排序后,相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚有序。

    ddpx

冒泡排序(Bubble Sort)

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较,看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置,重复n次,就完成了n个数据的排序工作。

比如:我们要对一组数据 4,5,6,3,2,1,进行从小到大排序。第一次冒泡操作的详细过程如下

mppx1

经过一次冒泡操作之后,6这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序,只要进行6次这样的冒泡操作就行了。

mppx2

实际上,这个冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时,说明已经达到完全有序,不用在继续执行后续的冒泡操作。再举个例子:这里给6个元素排序,只需要4次冒泡操作就可以了。

mppx3

冒泡排序算法的原理比较简单,具体代码如下:

//冒泡排序,a 表示数组, n 表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    //提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
      if (a[j] > a[j+1]) {
        int temp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = temp;
        flag = true; //表示有数据交换
      }
    }
    if (!flag) break; //没有数据交换,提前退出。
  }
}

冒泡排序是原地排序吗?

冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作,只需要常量级的临时空间,所以它的空间复杂度是O(1),是一个原地排序算法。

冒泡排序是稳定的排序算法吗?

在冒泡排序中,只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性,当有相邻的两个元素大小相等的时候,我们不做交换,相同大小的数据在排序前后不会改变顺序,所以冒泡排序是稳定的排序算法。

冒泡排序的时间复杂度是多少?

最好情况下,要排序的数据已经是有序的了,只需要进行一次冒泡操作,就可以结束了,所以最好情况时间复杂度是O(n)。而最坏情况是,要排序的数据刚好是倒序排列的,我们需要进行n次冒泡操作,所以最坏情况时间复杂度是O(n²)。

mppx4

那平均情况时间复杂度呢?

平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度,对于包含n个数据的数组,这n个数据就有n!(n的阶乘)种排列方式。不同的排列方式,冒泡排序执行的时间肯定是不同的。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度,涉及的数学推理和计算就会很复杂。我们可以通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。用数学表达式就是这样:

有序元素对: a[i] <= a[j], 如果 i < j

yxd

同理,对于一个倒序排列的数组,比如6,5,4,3,2,1,有序度是0;对于一个完全有序的数组,比如1,2,3,4,5,6,有序度就是n*(n-1)/2,也就是15。这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度

逆序度的定义正好跟有序度相反(默认从小到大为有序),用数学表达式就是这样:

逆序元素对: a[i] > a[j], 如果 i < j

我们还可以得到一个公式:逆序度 = 满有序度 - 有序度。我们排序的过程就是一种增加有序度,减少逆序度的过程,最后达到满有序度,就说明排序完成了。

就前面的冒泡排序例子来说,要排序的数组的初始状态是4,5,6,3,2,1,其中,有序元素对有(4,5) (4,6) (5,6),所以有序度是3。n = 6,所以排序完成之后终态的满有序度为n*(n-1)/2 = 15。

yxd1

冒泡排序包含两个操作原子,比较交换。每交换一次,有序度就加1。不管算法怎么改进,交换次数总是确定的,即为逆序度,也就是n*(n-1)/2-初始有序度。此例就是 15-3=12,要进行12次交换操作。

对于包含n个数据的数组进行冒泡排序,平均交换次数是多少呢?最坏情况下,初始状态的有序度是0,所以要进行n*(n-1)/2次交换。最好情况下,初始状态的有序度是n*(n-1)/2,就不需要进行交换。我们可以取个中间值n*(n-1)/4,来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。

也就是说平均情况下,需要n*(n-1)/4次交换操作,比较操作肯定要比交换操作多,而复杂度的上限是O(n²),所以平均情况下的时间复杂度就是O(n²)。

这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格,但是很多时候很实用,毕竟概率论的定量分析太过复杂,不太好用。这种不太严格的分析方法在分析快排的时候也会用上。

插入排序(Insertion Sort)

一个有序数组,在往里面添加一个新的数据后,如何继续保持数据有序呢?很简单,我们只要遍历数组,找到数据应该插入的位置将其插入即可。

crpx

这是一个动态排序的过程,即动态地往有序集合中添加数据,我们可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据,我们也可以借鉴以上的插入方法,来进行排序,于是就有了插入排序算法。

插入排序具体是如何借助上面的思想来实现排序的呢?

首先,我们将数组中的数据分为两个区间,已排序区间未排序区间。初始已排序区间只有一个元素,就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素,在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入,并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程,知道未排序区间中元素为空,算法结束。

如图所示,要排序的数据是4,5,6,1,3,2,其中左侧为已排序区间,右侧是未排序区间。

crpx1

插入排序也包含两种操作,一种是元素的比较,一种是元素的移动。当我们需要将一个数据a插入到已排序区间时,需要拿a与已排序区间的元素依次比较大小,找到合适的插入位置。找到插入点之后,我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位,这样才能腾出位置给元素a插入。

对于不同的查找插入点方法(从头到尾、从尾到头),元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列,移动操作的次数总是固定的,就等于逆序度。

为什么移动次数就等于逆序度呢?就拿上面的例子画个图。满有序度是n*(n-1)/2=15,初始序列的有序度是5,所以逆序度是10。插入排序中,数据移动的个数总和也等于10=3+3+4。

crpx2

插入排序的原理就是这样简单,具体实现代码如下:

//插入排序, a 表示数组, n 表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
  
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    //查找插入的位置。
    for (; j >= 0; j--) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j]; //移动数据
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; //插入数据
  }
}

插入排序是原地排序算法吗?

从实现过程可以很明显地看出,插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间,所以空间复杂度是O(1),即这是一个原地排序算法。

插入排序是稳定的排序算法吗?

在插入排序中,对于值相同的元素,我们可以选择将后面出现的元素,插入到前面出现元素的后面,这样就可以保持原有的前后顺序不变,所以插入排序是稳定的排序算法。

插入排序的时间复杂度是多少?

如果要排序的数据已经是有序的,我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数组里面查找插入位置,每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下,最好时间复杂度为O(n)。注意,这里是从尾到头遍历已经有序的数据

如果数组是倒序的,每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据,所以需要移动大量的数据,所以最坏情况时间复杂度是O(n²)。

由于在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是O(n)。所以对于插入排序来说,每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据,循环执行n次插入操作,所以平均时间复杂度是O(n²)。

选择排序(Selection Sort)

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序,也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素,将其放到已排序区间的末尾。

xzpx

实现代码如下:

//选择排序, a 表示数组, n 表示数组大小
public static void seletcionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    int min = i;
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      if (a[j] < a[min]) {
        min = j;
      }
    }
    //数据交换
    if (min != i) {
      int temp = a[min];
      a[min] = a[i];
      a[i] = temp; 
    }
  }
}

选择排序是原地排序算法吗?

选择排序空间复杂度为O(1),是一种原地排序算法。

选择排序的时间复杂度是多少?

由上述实现代码就知道选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度都是O(n²)。

选择排序是稳定的排序算法吗?

选择排序是一种不稳定的排序算法。从前面的图可知,选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值,并和前面的元素交换位置,这样破坏了稳定性。

比如5,8,5,2,9 这样一组数据,使用选择排序算法来排序的话,第一次找到的最小元素是2,与第一个5交换位置,那第一个5和中间的5顺序就变了,所以就不稳定了。正是如此,相对于冒泡排序和插入排序,选择排序就稍微逊色了。

解答开篇

冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是O(n²),都是原地排序算法,为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎?

冒泡排序不管怎么优化,元素交换的次数是一个固定值,是原始数据的逆序度。插入排序也一样,不管怎么优化,元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。

但是,从代码实现上看,冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂,冒泡排序需要3个赋值操作,而插入排序只需要1个。

//冒泡排序中数据的交换操作:
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
   int tmp = a[j];
   a[j] = a[j+1];
   a[j+1] = tmp;
   flag = true;
}

//插入排序中数据的移动操作:
if (a[j] > value) {
  a[j+1] = a[j];  // 数据移动
} else {
  break;
}

如果执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间(unit_time),然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是K的数组进行排序。用冒泡排序,需要K次交换操作,每次需要3个赋值语句,所以交换操作总耗时就是3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要K个单位时间。

这只是一个理论的分析,为了验证这个理论,针对上面的冒泡排序和插入排序的Java代码,可以写一个性能对比测试程序。

随机生成10000个数组,每个数组中包含200个数据,然后在我的机器上分别用冒泡和插入排序算法来排序,冒泡排序算法大约750ms才能执行完成,而插入排序只需要280ms左右就可以完成。

import java.util.*;

class Alee {
	public static void main(String[] args) {
		Random random = new Random();
		//随机生成10000个数组
		for (int i = 0; i < 10000; i++) {
			int[] temp = new int[200];
			for (int j = 0; j < 200; j++) {
				temp[j] = random.nextInt();
			}
			//使用冒泡排序 大约需要750ms
			bubbleSort(temp, 200);
			//使用插入排序 只需要280ms左右
//			insertionSort(temp, 200);
		}
	}
	
	//冒泡排序
	public static void bubbleSort(int[] a, int n) {
		if (n <= 1) return;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			//提前退出冒泡循环的标志位
			boolean flag = false;
			for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
				if (a[j] > a[j+1]) {
					int temp = a[j];
					a[j] = a[j+1];
					a[j+1] = temp;
					flag = true; //表示有数据交换
				}
			}
			if (!flag) break; //没有数据交换,提前退出。
		}
	}
	
	//插入排序
	public static void insertionSort(int[] a, int n) {
		if (n <= 1) return;
		
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int value = a[i];
			int j = i - 1;
			//查找插入的位置。
			for (; j >= 0; j--) {
				if (a[j] > value) {
					a[j+1] = a[j]; //移动数据
				} else {
					break;
				}
			}
			a[j+1] = value; //插入数据
		}
	}
}

所以,虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的,都是O(n²),但是插入排序要比冒泡排序性能更优。插入排序的算法思路也有很大的优化空间,这里是最基础的一种,优化插入排序可以了解下希尔排序

//希尔排序
public static void shellSort(int[] arr) {
  int length = arr.length;
  int temp;
  for (int step = length / 2; step >= 1; step /= 2) {
    for (int i = step; i < length; i++) {
      temp = arr[i];
      int j = i - step;
      while (j >= 0 && arr[j] < temp) {
        arr[j + step] = arr[j];
        j -= step;
      }
      arr[j + step] = temp;
    }
  }
}

内容小结

分析评价一个排序算法,需要从执行效率、内存消耗和稳定性三个方面来看。这节内容分析了三种时间复杂度是O(n²)的排序算法,冒泡排序、插入排序、选择排序。

nrxj

这三种排序算法,实现代码都非常简单,在实际开发中插入排序会比较用得上。对于小规模数据的排序,三种排序算法用起来都非常高效。但是在大规模数据排序的时候,这个时间复杂度还是算比较高的,所以我们更倾向于采用时间复杂度是O(n㏒n)的排序算法。

思考

这篇文章的三种排序算法都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中,这三种排序算法还能工作吗?如果能,相应的时间、空间复杂度是多少?1

  1. 如果只考虑改变节点位置,不修改链表节点的value值,冒泡排序相比于数组实现,比较次数一致,但是交换操作更复杂;插入排序,比较次数一致,不需要再有后移操作,找到位置后可以直接插入,但排序完毕后可能需要倒置链表;选择排序比较次数一致,交换操作同样比较麻烦。所以,时间复杂度和空间复杂度并无明显变化,如果追求极致性能,冒泡排序的时间复杂度系数会变大,插入排序系数会减小,选择排序无明显变化。